【中学数学】数列でつくってあそぼ(等差数列編)

好きな言葉は「収束」。どうもこんにちは、ジャムです。

今回紹介するのは、気づくことができれば得点源になる数列です。

wikiより

数列と一言に言っても様々な数列があります。

全部で4つ紹介する予定なのですが、今回は

等差数列についてやっていきましょう！

　　　　　　　　　　　　　　　　　目次

まず数列とは

数列というのは名前の通り数が列を成しているのですが、

いくつかの用語を知っておく必要があるので説明します。

用語

項

数列に於ける列の要素のことで、

数列の最初の項を初項、最後の項を末項と呼びます。

また、それ以外のの項についても初項を第1項として順に、

第2項、第3項...という具合に呼びます。

そして、数列の項の数のことを項数といいます。

高校以上であれば、第項の数字をと表記します。

数列の和

特定の項から別の特定の項までを足し合わせたものを、

数列の和(部分和)と呼びます。

数列の意味

数学では基本的に規則性のある数の列を数列と呼びます。

数列でない例

例：　　　　　
一切規則性のない数の列(数列ではない)

数列である例

例：
正の奇数を並べたもの(数列である)

等差数列

数列の意味とそれに関する用語を理解したところで、

今回は等差数列に触れていきましょう！

等差数列とは

こちらの数列は言葉で説明するより、例で見るほうが

わかりやすいかもしれません。

念のために定義を説明すると、

任意の自然数に対して、隣り合う2項 と の差が
一定のもの(wiki参照)

という定義になっているのですが、例を見ないと

ちょっと理解しづらいですよね。

ということで、例を挙げてみます！

例：

これは、先程数列の例として挙げた奇数を並べたものです。

さて、ここで問題です。

この数列の初項は何でしょう？




正解は1です。

初項とは最初の項のことなので、この場合一番最初の1を指します。

ちなみにこの場合の末項はありません。(無限に続いているから)

そしてこの数列は項が1つ進むごとに

数字が2ずつ大きくなっていますよね？

この等差数列の一定の差のことを公差と呼びます

（覚えなくてもいいです）。

等差数列の和

等差数列の和の求め方を紹介する前に世紀の天才ガウスの逸話を

紹介しましょう。

ある時、1 から 100 までの数字すべてを足すように
課題を出された。それを彼は、
1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, …, 50 + 51 = 101
となるので答えは 101 × 50 = 5050 だ、と即座に解答して教師を驚かせた。(wikiより)

実は、この話に登場する数列の正体、

初項1,公差1,項数100の等差数列なんです。

そんな数列を天才ガウスはあっという間に足し合わせてしまいました。

そんなガウスの使ったテクニックを数式化すると、

は初項,　は公差,　は項数,　は末項,は第項までの和

というわけで、コレが等差数列の和の公式です。

といっても何を言ってるかわからないと思うので、

先程のガウスの例で考えていきましょう。

まずガウスは初項の数と末項の数の和,
初項から1番目の数と末項から1番目の数の和,....

が101で一定であることに気づきました。

つまりこのまま数列の半分辺りまで足し算を続けて行けば、

単純な掛け算で数列の和を出せるのではないか、

と、ガウスは考えたわけです。

するとちょうど50+51のところで全部で

50組の101ができることになります。

そのためガウスは101に50をかけ合わせ、

だ、と言ったわけですね！

(説明がわかりにくくてすみません...)

しかもこれはこの場合によらず、例えば

のような場合でも

101+1=102,　99+3=102,...という具合に102が全部で50組できて、

51が1つ余ります。

ここで疑問が湧きますよね。余ってしまったものはどうするのか、と。

実はこの51という数字は組にした102という数字のになっていて、

余った場合絶対にそうなります。

なので、ここでは50.5組としてカウントするのです。

これを踏まえると組になる数字(先程の101や102)は

初項と末項の合計()、

組の数は項数のになることがわかります()。

それらをかけ合わせればすべての項を足し合わせた結果となるので

という式になるのです。

そして、末項は初項と項数から1を引いた値(項と項の"間"の数)に公差を

かけ合わせた数()との和なので、

末項の部分に式を代入して、

という公式が成り立つのです。

まとめ

等差数列の和の説明が無理やりになってしまいすみません...

実は4つの数列を全部一気に紹介する予定だったのですが、

文章量が半端なくなってしまったので分割させていただきました。(^^;

例題も次回まとめて載せますので、お楽しみに！(楽しみにしてる人はいないか...)

あとタイトルは気にしないでください

それでは！