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【中学数学】"中学流"に外接円の半径を求める

数学

好きな言葉は「写像」。どうもこんにちは、ジャムです。


今回は先日紹介した外心と関連する話題です。

(記事はこちらから) jamjam1229.hatenablog.com

先日の記事では詳しい外接円の半径の求め方は紹介していませんでしたが、

今回はそれについて紹介していきたいと思います！

高校数学であれば正弦定理などを用いるところですが、

"中学流"の求め方も是非活用してみてください！

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　　　　　　　　　　　　　　　　　目次

使う定理・法則

三平方の定理

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wiki参照

三平方の定理とは、直角三角形の斜辺と

他の二辺の間に成り立つ超重要公式です。

上図を用いた式で表すと、

AC^2+BC^2=AB^2

という式になります。

円周角の定理

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同じ弧の円周角の大きさは等しく、

円周角が中心角の半分になると言う定理です。

上図を用いた式で表すと、

C1=C2
C1=\frac{1}{2}\angle AOB

という式になります。

またこの定理の特別な場合としてタレスの定理があります。

タレスの定理は円に内接する直角三角形の斜辺は

その円の直径となる、と言う定理です。

外接円の半径を求めるときの肝となります。

(タレスの定理は円周角の定理から簡単に導けます。)

三角形の相似条件

三角形の相似条件は3つあります。

外接円の半径を求めるのにはこの中の1つしか使わないのですが、

相似条件は3つを合わせて覚えておきましょう。

三角形の相似条件
・2組の角がそれぞれ等しい(二角相等)
・2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい(二辺比侠客相等)
・3組の辺の比がそれぞれ等しい(三辺比相当)

外接円の半径の求め方

では定理が出揃ったところで半径を求めていきましょう！

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まず、いきなり補助線を引かなければいけません。

頂点Aから辺BCへ垂線を下ろし、その交点をHとします。

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その後頂点Aと中心Oを通る直線を引き、円Oの円周との交点をDとします。

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すると、直線ADは円Oの中心を通っているため

直線ADは直径であることが分かります。

そのため、\triangle ABDは直角三角形です。(タレスの定理)

また、\angle ADBと\angle ACB同じ弧の円周角なので、

\angle ADB=\angle ACB (円周角の定理)

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すると、２つの直角三角形\triangle ABD,\triangle AHCは、

二組の角がそれぞれ等しいため相似であることが分かります。

相似な図形の辺の比はそれぞれ等しいため、

AB:AH=AD:AC
\Rightarrow AB\times AC=AH\times AD

ADについて解くと、

AD=\frac{AB\times AC}{AH}

ADは直径だからその半分が半径。

よって、円Oの半径をRとすると、

R=\frac{1}{2}AB=\frac{AB\times AC}{2AH}

(今回は垂線をそのまま記号で表していますが、

実際の問題では三平方の定理で垂線を出すことが多いです。)

はい、これが外接円の半径を表す式です！

少し複雑な形をしていますが、先程したように順を追って求めていけば

あまり苦労せずに求めることができます！

余談ですが、この式を変形して

2R=\frac{AB}{\frac{AH}{AC}}

のような形にすれば、

この式は正弦定理と全く同義であることが分かります。

(\frac{AH}{AC}が\sin C を表している。)

例題

一つ例題を載せておきます。上の求め方を参考にして解いてみてください！

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上図のように、\triangle ABCが円Oに内接している。

AB=2\sqrt{5},BC=AC=5のとき、円Oの半径を求めよ。

まとめ

中学流の外接円、いかがでしたか？

正弦定理のほうが確かに利便性は高いですが、

こちらの求め方も十分に使える手段だと思います！

これからも、より良い外接円ライフを歩んでいってください！

それでは！