【中学数学】倍数判定法とその証明

好きな言葉は「可換」。どうもこんにちは、ジャムです。

今回は倍数判定法について取り扱って行きたいと思います。

一見倍数判定法はあまり応用が効かなそうな気がしますが、

確率や組み合わせの分野で大いに力を発揮します。

今回は特に重要な倍数判定法を紹介していきたいと思います！

　　　　　　　　　　　　　　　　　目次

主要な倍数判定法

倍数判定法は実際にその数で割るよりはるかに速く

その数の倍数であるかを判別することができます。

主要なものから順に紹介したいと思います。

2の倍数

2の倍数に関してはほとんど明らかなことです。

一の位が二の倍数であればその数は二の倍数となります。

直感的に理解することも容易ですが、他の倍数の場合にも使える証明を紹介します。

証明

5桁の整数の一万の位から一の位までを順にと置いたとき、
その整数はと表すことができる。
式を変形し、
は2の倍数であるから、(一の位)が
2の倍数であれば、5桁の整数は2の倍数である。

上の証明のやり方は他の倍数判定法にも応用できます。

すなわち、ある数がの倍数であるかを判定したい場合には

ある数をでくくることをすれば証明可能です。

3の倍数

3の倍数は先程のように1の位だけを見ても判別することはできません。

先程の証明を使って解説していきます。

証明

は3の倍数であるから、 (各位の和)が3の倍数であれば、5桁の整数は3の倍数である。

上の証明から、3の倍数の判定法は、

各位の数字の和をとったときそれが3の倍数になっているか、です。

直感的に理解しづらいので、証明と判定法を合わせて覚えましょう。

4の倍数

4の倍数はその数の下2桁が4の倍数であればその数は4の倍数です。

証明

は4の倍数であるから、(下二桁)が
4の倍数であれば、5桁の整数は4の倍数である。

5の倍数

その数の1の位の数字が5の倍数であればその数は5の倍数です。

証明

は5の倍数であるから、(1の位)が
5の倍数であれば、5桁の整数は5の倍数である。

8の倍数

その数の下三桁が8の倍数であればその数は8の倍数です。

証明

は8の倍数であるから、(下三桁)が
8の倍数であれば、5桁の整数は8の倍数である。

9の倍数

その数の各位の数字の和をとったときそれが9の倍数になっていれば、

その数は9の倍数です。

証明

は9の倍数であるから、(各位の和)が
9の倍数であれば、5桁の整数は9の倍数である。

例題

例題を２問作ってみたので、解いてみてください！

例題１

5桁の数が11の倍数であるかの判定法を示し、 それを証明せよ。

例題2

1,2,3,4の数字が描かれたカードがそれぞれ1枚ずつあり、 これらを使って四桁の整数を作るとき、次の問に答えよ。

(1)できた4桁の整数が2の倍数である確率を求めよ。

(2)できた4桁の整数が3の倍数である確率を求めよ。

前回の例題の答え

3/7の例題

3/8の例題

4時分

まとめ

今回時間があまり無かったため、

少し記事の内容が薄くなってしまいました。

倍数判定法は他にもあるのですが、得に重要なものを紹介しました。

では、次回またお会いしましょう。

それでは！