【中学数学】数列でつくってあそぼ(階差数列編)

好きな言葉は「発散」。どうもこんにちは、ジャムです。


今回は前回に引き続き、主要な数列に触れていきます。

前回は等差数列を紹介しましたが、今回は階差数列と呼ばれる

数列について触れていきます。

本題に入る前に、前回の等差数列の例題をしてみましょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　目次

等差数列の復習

例題

を正の整数とし,座標平面上で4点を 頂点とする正方形の内部または周上にある格子点の個数をとする。 ただし,格子点とは座標,座標がともに整数である点のことである。 このとき,[オ][カ]であり,をの式で表すと[　キ　]である。 (開成　06)

初っ端から開成の問題ですが、考えれば案外解けるので解いてみてください！

解答

オ=,　 カ=,　 キ=

どうですか？難しかったですかね？

この問題は等差数列を存分に用いて解く問題なので選んでみました。

(実は問題に出てくる数列そのものは階差数列)

解説は...すみません！

その気になったら書きます！(←おい)

階差数列

例題には正解できたでしょうか？

正解できた方も、残念ながら間違えてしまった人も、

階差数列について学んでいきましょう！

階差数列とは

とりあえず、wikiに書いてある定義を見てみましょう。

階差数列とは、ある数列に対し、隣り合う項の差をとることによってできる新たな数列のことである。

・・・

はい、はい、皆さんの言いたいことはわかります。

さっぱりわからん！

ということで、こちらも具体例で考えていきましょう！

次のような数列があるとします。

ここで、前回登場した等差数列ではないか、と疑えたあなた、

素晴らしいですね！

でもよく考えてみてください、項と項の差が一定ではありませんね。

では不規則なのかというと、そうではないんですね。

そこで、項と項の差に着目してみてください。

何かに気づきませんか？

そうです、等差数列です。

言葉では説明しにくいですが、

階差数列とは項と項との差が等差数列または新たな階差数列

となっている数列なのです！

項と項との差が新たな階差数列となっている例を１つ紹介します。

例：

こちらの数列は、一度項と項との差を出してみても

等差数列にはなりません。

ただここで手を止めるわけではありません。

もう一度差を出してみるのです。

すると・・・

という具合に、階差数列は差を出していけば、いつかは等差数列になります！

そして上図のように差をとって表にしたものを階差表なんて言ったりします。

階差数列の和

階差数列の和の話ですが、階差数列には先程のように1度差をとれば

等差数列になるものもあれば、

何十回と差をとらなければ等差数列にならないものもあります。

そのため、階差数列の和の公式は存在していません。

そして、階差数列の和が入試で出るかといえば、

恐らくほとんど出ることがないものです。

ですから、折角このような項目を作りましたが、

階差数列の和については紹介しないことにします。

まとめ

今回は階差数列について紹介しましたが、

十分に理解できたでしょうか？

階差数列は高校入試より大学入試に出やすいでしょうから、

階差数列を深く掘り下げる必要はあまりありません。

しかし、等差数列の発展として紹介してみました。

次回は最後の2つの数列、「フィボナッチ数列,トリボナッチ数列」

について紹介するので乞うご期待！

それでは！