ジャムと愉快な仲間たち(0名)

ジャムが数学とかを熱く語ります。

【中学数学】指数が0とは何を指しているのか

数学

好きな言葉は「反例」。どうもこんにちは、ジャムです。

今回は数Ⅰの内容ですが、知っておくと便利な指数のお話です。

中学校で習う指数の定義だと指数は1以上が基本です。

しかし、それでは計算スピードに限界が生まれてしまいます。

そこで今回は、指数が0であることの意味や、

それに関する法則を紹介したいと思います！

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　　　　　　　　　　　　　　　　　目次

指数法則
指数が0の意味
おまけ
まとめ

指数法則

まず指数を語る上で欠かせないのが指数法則です。

これも数Ⅰの内容ですが、とても便利なので絶対に覚えましょう。

指数法則とは

まずはこちらの例から。

$a^{5}\times a^{3}=a^{8}$

これは特に問題はありませんね。

中学校で習うように $a^{n}$ は $a$ を $n$ 回掛けることですから、

$a^{5}\times a^{3}=(a\times a\times a\times a\times a)\times(a\times a\times a)=a^{8}$

というふうにできますね。

ここで見方をを変えてみると、 $a$ を5回掛けたものと $a$ を3回掛けたものとで

合わせて8回掛けていることがわかりますか？

これはこの場合だけでなく全ての場合において成り立ちます。

ですから、下のように一般化できますね。

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

$a$ を $m$ 回掛けたものと $n$ 回掛けたものを順に掛けたのですから、

計 $m+n$ 回掛けたことになるわけです。

これも指数法則の一部ですがこれの逆も存在しています。

その例がこちらです。

$a^{4}\div a^{2}=a^{2}$

これも先程のように分解していけば自然なことだとわかります。

$\frac{a\times a\times a\times a}{a\times a}=a\times a$

分数の形で表せば、 $a\times a$ の部分が約分されて、

残りの $a\times a$ の部分だけが残るということがわかるでしょうか？

これも先程のように見方を変えれば、

指数が約分されることによって引き算になっていることが分かります。

これも次のように一般化できます。

$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

これらが所謂指数法則です。

他にも指数法則はありますが、今回は前述の２つを使っていきます。

例題

この法則は非常に重要なので例題で確認をしましょう！

(1) $a^{5}\times a^{2}\div a^{3}$

(2) $3^{384}\div 3^{382}\times 2^{2}$

解答

(1) $a^{5}\times a^{2}\div a^{3}=a^{5+2-3}=a^{4}.$

(2) $3^{384}\div 3^{382}\times 2^{2}=3^{(384-382)}\times 4=36.$

指数が0の意味

いよいよ指数が0とはどういうことか解説していきたいと思います。

先程の指数法則の引き算の方を使います。

$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

この公式に着目してみると、 $m=n$ の場合、 $m-n=0$ となって

指数が0になるような気がしません？

$a^{m}\div a^{m}=a^0$

ここで式を再確認すると、左辺で同じ数を同じ数で割っていますよね。

すなわちこれは $m$ がどうであれ、 $a$ がどうであれ1なんです。

$a^{0}=1$

つまり、数によらず、

何かを0乗するということは1を意味しているんです。

決して0乗しているからと言って0にはなりません。

同様に、拡張して指数が負の場合も考えることができます。

$a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$

おまけ

今回紹介しなかった指数法則を用いると、指数が分数のときも考えることができます。

$(a^m)^n=a^{mn}$

今回は試しに $\frac{1}{2}$ 乗を考えてみましょう。

上の指数法則を用いると、

$(a^{\frac{1}{2}})^2=a^1=a$

すなわち、

$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$ .

平方根が出てくるのは意外だったと思います！

また、これを一般化して、

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というふうにできます！

まとめ

指数を拡張した表現を紹介しましたが、うまく理解していただけましたか？

今回の話はかなり有名な話なので、知ってる人も大勢いると思います。

前回の記事に本気を出しすぎて記事が短めになってしまいましたが、

引き続き数学に関する投稿をしていきたいと思います！

それでは！