好きな言葉は「線形」。どうもこんにちは、ジャムです。

今回は中学数学のみで使える放物線のちょっとした裏ワザを

皆さんに紹介したいと思います。（厳密には、使えるけど限られる。）

f:id:jamjam1229:20190225164920p:plain — wiki参照

放物線と直線の時短裏ワザ！

次のような直線と放物線があったとします。

（※図は超適当なのでちょっと変です。）

f:id:jamjam1229:20190225175200p:plain

目的は直線の式を求めることです。

普通なら２つの座標を求めて、傾きを出して....

という流れのはずですよね。

さあ、少し考えてみてください。僕も考えます。

終わりましたか？前述の通りにやると恐らく30秒～1分程かかるはずです。

でもこれをたった３秒で求める方法があります。

しかもたった１つの式で表せます。知ってる人もいるかも。

f:id:jamjam1229:20190225215416p:plain — aは放物線の定数、pは交点Aのx座標、qは交点Bのx座標

ね？、簡単でしょ？

と、言ったもののこれだと形が複雑で覚えにくいですよね。

ということで、こう考えましょう。

f:id:jamjam1229:20190225215501p:plain

僕はいつもこう考えています！（わかりにくくてすみません...）

ただ、この方法で覚えていると、たま～にaを忘れるので注意！

そして、上の計算式を使えば先程の問題はたった３秒で解けます

では、計算してみましょう！

f:id:jamjam1229:20190225215614p:plain

・・・

はい、マジで３秒です。

こんな便利な公式が使えるなんて....数学に感謝しないと！

ということで感謝を表すため、証明します。

物線の式を、 $\begin{align*} y=ax^2 \end{align*}$ 、直線の式を、 $\begin{align*} y=cx+d \end{align*}$ 、直線との交点の $\begin{align*} x \end{align*}$ 座標を

値の小さい方から順に $\begin{align*} p,q \end{align*}$ とすると、

直線の傾きは、

$\begin{align*} c=\frac{aq^2-ap^2}{q-p}=\frac{a(q+p)(q-p)}{q-p}=a(p+q) \end{align*}$

切片は、

$\begin{align*} a(p+q) \times p +b=ap^2\\ \Leftrightarrow b=ap^2-ap^2-apq\\ \Leftrightarrow d=-apq \end{align*}$

よって、この直線の式は

f:id:jamjam1229:20190225215416p:plain 　∎

２つ例題をつくりましたので良ければ解いて見てください！

例題

例題１

f:id:jamjam1229:20190225232832p:plain

上図のように、放物線　 $\begin{align*} y=\frac{1}{4} x^2 \end{align*}$ が、直線 $\begin{align*} y=ax+b \end{align*}$ と、 $\begin{align*} A(-2,1),B(6,9) \end{align*}$ で

交わっているとき、次の問に答えよ。

（１） f:id:jamjam1229:20190225233333p:plain の値を求めよ。

（２）△ $\begin{align*} OAB \end{align*}$ の面積を求めよ。

（３）点 $\begin{align*} A \end{align*}$ よりも $\begin{align*} x \end{align*}$ 座標の小さい点 $\begin{align*} P \end{align*}$ を放物線上にとり、

　　　△ $\begin{align*} PAB \end{align*}$ が△ $\begin{align*} OAB \end{align*}$ の面積と等しくなるとき、

　　　点 $\begin{align*} P \end{align*}$ の $\begin{align*} x \end{align*}$ 座標を求めよ。

例題２

f:id:jamjam1229:20190226000948p:plain

上図のように、放物線 $\begin{align*} 2x^2 \end{align*}$ が、直線 $\begin{align*} l \end{align*}$ : $\begin{align*} y=ax+b \end{align*}$ と、 $\begin{align*} A(-2,8),B(3,18) \end{align*}$ で,

また、 $\begin{align*} l \end{align*}$ に垂直な直線 $\begin{align*} m \end{align*}$ : $\begin{align*} y=cx+d \end{align*}$ と $\begin{align*} A,C \end{align*}$ で交わっているとき、