【中学数学】受験で使える三角形の”心”

好きな言葉は「直交」。どうもこんにちは、ジャムです。

今回は、高校受験において頻出である三角形の"心”を

5つ紹介していきたいと思います！

三角形の”心”と書きましたが、これは三角形の五心のことです。

これらの避けては通れない五心を、利用した例を交えて

見ていきましょう！　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　目次

外心

外心とは三角形に外接する外接円の中心です。

この外接円の半径は三角形の相似を利用して算出できるので、

五心の中で最も重要な点とも言えます！

利用した例

外心を中心とする外接円の半径は、円周角の定理と、

三角形の相似を利用することで求められます。

(証明は長いので割愛します。)

内心

内心とは三角形に内接する内接円の中心です。

内接円の半径を利用することにより、三角形の面積を求めることが

でき、逆も可能です。

外心と並びよく出る点なので、性質を正しく理解しましょう！

利用した例

内接円の半径を利用して三角形の面積を求める際の公式があります。

は三角形の面積、は各辺、は内接円の半径。

垂心

垂心は各点の対辺へと垂直に下ろした直線の交点です。

五心の一つですが、中学数学ではこれと言った性質はありません。

そのため、五心の中での登場頻度は比較的少なめです。

利用した例

前述の通り、垂心には中学数学で説明できる段階で

特筆すべき性質はありません。

しかし、外心、内心と合わせてオイラー線という幾何的に

とても興味深い線を構成する点になります。

重心

重心とは、各点とその対辺の中点を結んだ直線(中線)の交点です。

数学の分野以外でも、

体の重心を....重心を前にして....など、日常でもよく耳にする単語です。 重心は他の4点と比べ少し複雑な点であるため、

入試問題でやや難関な問題として出題されることがあります。

また、いくつかの重要な性質があるので見ていきましょう。

利用した例

重心はそれぞれの中線を2:1に内分するという性質があります。

また、座標平面上の場合では、

があるとき、
重心の座標は、

という性質が成り立ちます。（すなわち、重心は三点の平均）

傍心

五心の中でも影の薄いこの傍心は、

厳密には三角形の心ではありませんが、

五心の中に入る重要な点です。

傍心は傍接円の中心の点のことで、傍接円とは、

三角形の外側にあり1辺と他の2辺の延長線に接する円のことです。

傍接円の半径を用いて三角形の面積を求めることもできるので、

傍心も忘れずに覚えておきましょう。

利用した例

傍接円の半径と面積に関する公式があります。

は三角形の面積、は辺に関する傍接円の半径、は各辺

同様に、

まとめ

三角形の五心は垂心を除きすべて入試で役に立つものですので、

今回紹介した公式、性質は覚えておいて損はないと思います！

また、三角形の点は今回紹介した以外にも「フェルマー点」など、

まだたくさんのものがあります！

気になった方は調べてみてはいかがでしょうか？

それでは！